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予測と観察が計算のコツ

高校生が対象式の計算問題で手が止まって質問に来ました。

対象式は幾つかのコツがありますが、

分数式の場合には通分から因数分解して約分するパターンを覚えましょう。

これは、計算結果に向けて項数や文字数を減らしていく計算が多いことが原因です。

約分で式を簡単にしていきますが、

約分するためには因数分解しておけば楽なことは言うまでも無いですよね。

ここでどの様に因数分解していけばいいか分からない、という質問をもらいます。


これは、予測に基づく観察が足りません。

いずれ約分するのであれば、分母分子に同じ因数(あるいは括弧)があるはずです。

ということは、分母にある因数で整理していくことを考えましょう。

このような予測と観察が、計算をグッと一歩楽に速くしてくれます。

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ロバの水飲み問題

理科の問題で出てくる、鏡で反射した光の通り道を作図するテーマなどは

 

最短距離問題として算数・数学で扱う問題の一つです。

 

塾長はこれを説明する時に、「ロバの水飲み」という話をします。

 

単純に説明しても良いのですが、

 

物語として説明したほうが脳に残りやすいだろうと思ってのことです。

 

これは塾長のオリジナルではありません。

 

高校時代の数学の担任・学級担任であった恩師・藤川先生の模倣です。

 

藤川先生は多分一度だけ授業中にその話をしてくださいましたが、

 

数十年たった今でも塾長は忘れずにいます。

 

そして塾講師・家庭教師をやる中でこの屈折最短距離問題を

 

全て「ロバの水飲み」と説明してきました。

 

オリジナルな解法や考え方も良いものですが、

 

力がまだついていないときこそ模倣を心がけて下さい。

 

教わったとおりにきちんと真似をしてみること。

 

その上でより良い作戦はないか批判検討すること、です。

 

いきなり我流に走っては、大体の場合に失敗します。

 

基礎基本は真似からです。

 

 

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五心の図を書けるか

高1の数学の図形分野で三角形の五心の問題がよく扱われます。

 

五心の学習でまずやるべきなのは作図です。

 

五心を実際に作図して、その性質ごと理解して覚えましょう。

 

ここは眺めているだけではいけません。

 

例えば重心はどのように作図するのかを教科書で確認し、

 

定規とコンパスで実際に作図します。

 

その後にフリーハンドでも作図します。

 

その三角形にさらに重心を扱う問題で出てきた補助線なども引きます。

 

重心ですから当然辺の比を書き込むのも忘れずに。

 

このような作図を通して図に対する理解とイメージを深めます。

 

これがインプットになる部分です。

 

インプットをせずに問題を解いても定着は低くなります。

 

インプットとアウトプットの両面から押さえてくださいね。

 

 

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高校の内容も前もってやっていて良かった

高校生が数Aの質問を持ってきます。

 

ちょうど三角比の分野に入ったようで、

 

問題で扱う際の基本事項をレクチャーしました。

 

何事も導入部分で丁寧にやっておきたいですからね。

 

一通り説明を終えた後に、学校での授業の様子を聞きました。

 

中3の頃に教えていた内容が授業で出てきているようで、

 

「あの頃頑張っておいて良かったです」と笑っていました。

 

数学が苦手な教科だと思っている生徒でこれですから、

 

数学が得意な生徒であれば尚の事でしょう。

 

授業中の先生の説明を聞きながら別解を考えて

 

その別解で解いても問題はないかを授業後に質問に行ったそうです。

 

その解法を私も聞きましたが、十分に良いポイントを持ってましたね。

 

油断せず頑張っているようで何よりです。

 

小中高とずっと塾長である私が様子を確認できるので、

 

常に先に何を扱うか、この生徒がどうなるかを考えて指導ができます。

 

そこが青木学院の良いところだと思ってもらえています。

 

 

 

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「必要な線」を探す・引く

高校生が数学の図形問題で手を止めていました。

 

三角形の重心に絡んだ面積問題です。

 

「今何を問われているの?」

 

「この三角形の面積です」

 

「三角形の面積は何で決まるの?」

 

「底辺と高さです」

 

「どちらを先に見当をつけるの?」

 

「底辺です」

 

「どうして?」

 

「高さは底辺に垂直に取るから、底辺が決まらないと決められないからです」

 

「じゃあどこを底辺にしたいの?」

 

「この辺です」

 

「じゃあ高さはどこか作図したの?」

 

「まだ、していません」

 

「じゃあ必要な高さを作図して、その長さを求めるために使いそうなのは?」

 

「問題文で重心について触れているの重心だと思います」

 

「重心と何かの長さの関係はあると思う?」

 

「あ、内分の比がありました」

 

「今僕は何か教えたかな?」

 

「いえ、新しい知識はなかったです」

 

「そういうこと。いつも言うとおり、もっと図を書きなさい。

 

そのために大きくノートに作図することを忘れずに。じゃあヒントは以上ね」

 

だいたい毎日こういう会話をしています。

 

問題を解くときには「何を問われているのか」「必要なのは何か」を考え、

 

それを目に見えるように書き出して考える必要があります。

 

その手順を何度も染み込ませるためには多くの問題に当たるのが一番です。

 

手順を教わっただけでできるようにはならないからです。

 

だからこそ、長時間演習で学習量を確保する必要があるのです。

 

 

 

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確率の問題はとにかく具体例を書き出すことから

昨日の記事ではありませんが、効率良くやりたいと思う気持ちの幾つかは

 

私達の学力向上に非効率であることがあります。

 

中学や高校の確率の問題を解いた答案を見てそう思います。

 

確率を苦手とする生徒の答案には、

 

問題の条件を満たす数字や事象の具体例が書かれていないことが多いです。

 

彼ら・彼女らは問題文からいきなりどの公式で解くかを考えます。

 

しかし、それがスッとできるほどの技量はないわけです。

 

結果、白紙や不正解答案となってしまいます。

 

私達は遠回りでも確実な方法をまずは身につけて行くのが良いのです。

 

まずは与えられた事象をいくつか書き出してみて、

 

それを数式化するにはどうしたら良いかを考えて下さい。

 

分類した結果一つの式で表記することが難しい場合も多いので、

 

そのときには躊躇なく場合分けをして解きましょう。

 

手間がかかるように思えますが、結果として早く解けることが大半です。

 

手間と工夫で学力アップ!です。

 

 

 

定期試験対策演習の塾外生参加者を募集します。

 

 

演習授業を通して自分の弱点と向き合い、

 

克服していくことを目指す生徒の参加をお待ちしています。

 

特に今の時期から生徒の得意苦手がはっきりと分かれる

 

数学の演習がおすすめです。

 

入試必須の関数分野をこの機会にマスターして欲しいです。

 

 

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計算力は筋力だ

計算力は筋力です。

 

瞬発力としても、持久力としても重要な力です。

 

一つの問題を解くのに時間がかかっていては

 

そもそもテストの時に時間が足りなくなって、

 

最後まで解ききれないという事態が起きます。

 

単位時間あたりの学習量も少ないので、

 

時間を書けている割には学力の伸びも芳しくありません。

 

また、計算をやるとすぐに集中が切れてしまっては、

 

やはり単位時間あたりの学習量が少なくなります。

 

学力の伸びが良い生徒は姿勢が安定していて、

 

ブレずに大問一つを解き切る場合が多いです。

 

これは物理的な意味でも筋力のおかげがありますね。

 

腹筋背筋などで体を支えていられないと

 

安定した姿勢で学習することは難しいです。

 

学校の先生方から見てもパッと伸びやすい生徒が見分けられるのは

 

授業中の集中した姿勢から判断されることもあるのでしょう。

 

 

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克服していくことを目指す生徒の参加をお待ちしています。

 

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複数の模範解答を比べる

「塾に来なくても問題集だけで勉強はできる」という人がいます。

 

実際まれにそういう生徒がいます。

 

しかし塾を有効に活用して学力を上げる必要がある生徒のほうが多数派です。

 

例えば青木学院の生徒が最近言ってくれたことの一つに

 

「先生は数学の模範解答をいくつか見せてくれるからいい」

 

という言葉がありました。

 

実際問題集でフォローしにくい、人力が生きるところの一つはここです。

 

生徒によって幾つかの模範解答を見せて、

 

それぞれの答案の長所短所について説明します。

 

あるいはいま学習している内容がその先でどのように生きるかを

 

実例を交えつつ伝えていきます。

 

そして伸びる生徒はそこで得た情報を取捨選択し、

 

一つずつ身につけていくためにまた演習をします。

 

一つの解法だけにとらわれるのではなく、

 

多様な解放を比較検討してくことで学力は向上します。

 

これを独りでできる生徒はほとんどいないのです。

 

演習授業をただの自習だとお考えの方は

 

そこに想像力を巡らせていただきたいと思っています。

 

 

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演習授業を通して自分の弱点と向き合い、

 

克服していくことを目指す生徒の参加をお待ちしています。

 

特に今の時期から生徒の得意苦手がはっきりと分かれる

 

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即扱える数を増やしておく

私立中学受験の学習などを経ずに

 

公立高校受験へ進まれるご家庭のほうがまだ多いと思います。

 

私立中学受験の学習を経験した生徒と

 

そうでない生徒との一つの違いは

 

即扱える数の種類の差に有ります。

 

例えば、かけ算九九をろくに扱えずに

 

中学に上がる生徒はほぼいないでしょう。

 

そこでは生徒に差があまりないことになります。

 

しかし、125という数字を見た時に

 

複数のことがピンと来るのが私立中学受験の経験者で、

 

特に何も考えないのが未経験者であることは多いです。

 

 

どのようなことを考えるかといえば、こんな感じです。

 

◎5の倍数である。5✕5✕5で出来ている。

 

前者はそれなりの生徒から出ますが、

 

後者を出せるのはよくトレーニングされている場合のみです。

 

25の倍数による約分という意識が芽生えますね。

 

◎125✕8=1000ができる。0.125=1/8である。

 

分数小数の混じった計算では効果的です。

 

125が5の3乗で8が2の3乗だということを理解すれば

 

この二つの数の相性の良さに気がつけます。

 

 

このような知識を十分使いこなすことが出来れば

 

中学高校の数学で計算が楽になって学習速度が上がります。

 

解いていてストレスを感じることも減りますから、

 

学習の負担も減らせるというわけです。

 

もちろん学力が上がりやすいのは言うまでもないでしょう。

 

 

しかし、私立中学受験そのものを経験せずとも、

 

算数の十分なトレーニングを早期から意識すれば

 

このような計算の基礎を身につけることは十分に可能です。

 

青木学院の小学生にはそこを意識して指導しています。

 

市立小・市立中からの県立上位校進学のために、

 

私立小・私立中の生徒に負けない実力を持ってもらいたいです。

 

 

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普通の水準を上げれば合格する

勉強ができるような生徒にある程度見られる傾向として

 

「勉強をすることは普通である」と考えている節があります。

 

彼女ら・彼らは勉強をすることをさほど苦痛だと思いませんし

 

特別なことであるとみなしません。

 

必要であれば考えますし、知りたければ調べます。

 

宿題をさぼることが普通ではないので選びませんし、

 

理由をつけて学習から身を遠ざけることも言い訳もしません。

 

普通であることの水準が並の生徒より高いとも言えます。

 

個人的には並の生徒の水準の低さが詰まらないのですが。

 

 

さて、ということは普通であることの水準が上がればいいのですが

 

それにはどうすればいいのでしょう。

 

普通を作るのは思考か行動か、から考えてみましょう。

 

当然行動です。

 

私たちは自分たちにとって普通になっていることは

 

一つ一つ考えずに行っていることばかりですよね。

 

思考が先行するのは普通でないことの場合もあります。

 

スーパーでいつも買うカレールーを選ぶ瞬間と

 

とびきりのごちそうのためにお肉を選ぶ瞬間は

 

どちらが普通かを考えてみれば分かるはずです。

 

話を戻します。普通は行動から作れるようになるべきです。

 

つまり、思考に左右されるような状態から抜け出るのです。

 

「勉強をするのが当たり前」という状態を作るためには

 

否応なくそういう環境に飛び込むのが一番早いのです。

 

やる気があるからやるだとか、やりたくないからやらないとか、

 

そういう些細な思考という名の感情から離れましょう。

 

淡々と行動を続けることで習慣を作りましょう。

 

青木学院ではそう考えていることから、

 

多く学習する時間を確保することを勧めています。

 

週に1時間を2回で満足している方はそれで十分ですが、

 

きちんと努力したい人を歓迎しています。

 

 

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